题目

题型：河南省期末题难度：来源：

如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止，已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x²cm。
（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；
（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由。

答案

解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形，
①当点P与点N重合时，
由x²+2x=20，得x₁=，x₂=-（舍去），
因为BQ+CM=x+3x=＜20，此时点Q与点M不重合，
所以x=符合题意，
②当点Q与点M重合时，
由x+3x=20，得x=5，
此时DN=x²=25＞20，不符合题意，
故点Q与点M不能重合，所以所求x的值为；
（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，由20-（x+3x）=20-（2x+x²），
解得x₁=0（舍去），x₂=2，
当x=2时四边形PQMN是平行四边形，
②当点P在点N的右侧时，
由20-（x+3x）=（2x+x²）-20，
解得x₁=-10（舍去），x₂=4，
当x=4时四边形NQMP是平行四边形，
所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形，
理由如下：
过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F，
由于2x＞x，
所以点E一定在点P的左侧，
若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，
则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，
即2x-x=x²-3x，解得x₁=0（舍去），x₂=4，
由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形。