在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动 - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC

边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后△PBQ的面积等于8cm²？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于10cm²？说明理由．

答案

（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm²．
（6-x）2x×

=8，
解得x₁=2，x₂=4，
答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm²；

（2）设y秒后△PBQ的面积等于10cm²．
（6-y）2y×

=10，
△=36-40=-4＜0，
∴原方程无解，
∴△PQB的面积不能等于10cm²．

核心考点

试题【在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动】；主要考察你对一元二次方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

若干个同学在一起聚会，彼此互相握手问候，共握了36次手，那么参加这次聚会的共有______个同学．

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如图，一个长与宽分别为2你cm，你cm的矩形铁皮，从矩形铁皮的了个角处各剪去一个边长为1右cm的正方形，沿虚线弯折做成无盖的长方体水槽，若水槽的容积为g右右右cm³，则矩形铁皮的宽你=______cm．

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某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米．设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米
（1）用含x的代数式表示平行于墙的一边的长为______米，x的取值范围为______；
（2）这个苗圃园的面积为88平方米时，求x的值．

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在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式．
这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．

【研究速算】
提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？
几何建模：
用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：
（1）画长为47，宽为43的矩形，如图3，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
归纳提炼：
两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）______．
【研究方程】
提出问题：怎样图解一元二次方程x²+2x-35=0（x＞0）？
几何建模：
（1）变形：x（x+2）=35．
（2）画四个长为x+2，宽为x的矩形，构造图4
（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）²或四个长x+2，宽x的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．
即（x+x+2）²=4x（x+2）+2²
∵x（x+2）=35
∴（x+x+2）²=4×35+2²
∴（2x+2）²=144
∵x＞0
∴x=5
归纳提炼：求关于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长）
【研究不等关系】
提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与2y+5的大小关系（其中y＞0）？
几何建模：
（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图5方式分割
（2）变形：2y+5=（y+3）+（y+2）
（3）分析：图5中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面积可以表示为（y+3）×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
归纳提炼：
当a＞2，b＞2时，表示ab与a+b的大小关系．
根据题意，设a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）

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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=12cm．点P从点C处出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从

B点出发以2cm/s向C点匀速移动，若一个点到达目的停止运动时，另一点也随之停止运动．运动时间为t秒；
（1）用含有t的代数式表示BQ、CP的长；
（2）写出t的取值范围；
（3）用含有t的代数式表示Rt△PCQ和四边形APQB的面积；
（4）当P、Q处在什么位置时，四边形PQBA的面积最小，并求这个最小值．

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