题目

题型：不详难度：来源：

已知 关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+4k-3=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当Rt△ABC的斜边长a=

31

，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．

答案

（1）关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+4k-3=0，
△=（2k+1）²-4（4k-3）=4k²-12k+13=4(k-

3

2

)2+4＞0恒成立，
故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）根据勾股定理得：b²+c²=a²=31①
因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，
则b+c=2k+1②，bc=4k-3③，
因为（b+c）²-2bc=b²+c²=31，
即（2k+1）²-2（4k-3）=31，
整理得：4k²+4k+1-8k+6-31=0，即k²-k-6=0，
解得：k₁=3或k₂=-2（舍去），
则b+c=2k+1=7，
又因为a=

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，
则△ABC的周长=a+b+c=

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+7．