题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

阅读材料：∵ax²+bx+c=0（a≠0）有两根为x1=

-b+ b2-4ac

2a

．x2=

-b- b2-4ac

2a

．∴x1+x2=

-2b

2a

=-

b

a

，x1•x2=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

．综上得，设ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则有x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

．利用此知识解决：
（1）已知x₁，x₂是方程x²-x-1=0的两根，不解方程求下列式子的值：①x₁²+x₂²；②（x₁+1）（x₂+1）；
（2）是否存在实数m，使关于x的方程x²+（m+1）x+m+4=0的两根平方和等于2？若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，说明理由．

答案

（1）∵x₁，x₂是方程x²-x-1=0的两根，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-1，
∴①x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1-2×（-1）=3；
②（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=-1+1+1=1．
（2）设方程的两根是a、b，则
a+b=-（m+1），ab=m+4，
a²+b²=（a+b）²-2ab=（m+1）²-2（m+4）=2，
解得m=±3．