题目

题型：河南难度：来源：

已知关于x的方程x²+（4k+1）x+2k-1=0．
（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；
（2）若x₁，x₂是方程的两个实数根，且（x₁-2）（x₂-2）=2k-3，求k的值．

答案

（1）证明：△=b²-4ac
=（4k+1）²-4（2k-1）
=16k²+8k+1-8k+4=16k²+5，
∵k²≥0，∴16k²≥0，∴16k²+5＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．

（2）根据题意，得x₁+x₂=-（4k+1），x₁x₂=2k-1，
∴（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4
=（2k-1）+2（4k+1）+4=2k-1+8k+2+4=10k+5
即10k+5=2k-3，
∴k=-1．