题目

题型：海淀区难度：来源：

已知：关于x的方程x²+3x-m=0的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x的方程（k-3）x²+kmx-m²+6m-4=0有实数根．

答案

设方程x²+3x-m=0的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-3，x₁•x₂=-m，
∵x₁²+x₂²=11，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=11，
∴9+2m=11，解得m=1，
且m=1，方程x²+3x-m=0有两个实数根，
∴m=1，
把m=1代入（k-3）x²+kmx-m²+6m-4=0得（k-3）x²+kx+1=0，
当k=3，方程变形为3x+1=0，解得x=-

1

3

，
当k≠3，△=k²-4（k-3）=k²-4k+12=（k-2）²+8，
∵（k-2）²≥0，
∴（k-2）²+8＞0，
∴k≠3时，方程有两个不等实数根，
∴关于x的方程（k-3）x²+kmx-m²+6m-4=0有实数根．