设一元二次方程x2+px+q=0(p,q为常数)的两根为x1,x2,则x2+px+q=(x-x1)(x-x2),即x2+px+q=x2-(x1+x2)x+x1x2,比较两边x的同次幂的系数,得这两个式子揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系,且关系式①②中,x1,x2的地位是对等的(即具有对称性,如将x1,x2互换,原关系式不变).类似地,设一元三次方程x3+px2+qx+r=0(p,q,r为常数)的3个根为x1,x2,x3,则x3+px2+qx+r=(x-x1)(x-x2)(x-x3).由此可得方程x3+px2+qx+r=0的根x1,x2,x3与系数p,q,r之间存在一组对称关系式: | x1+x2+x3=() | x1x2+x2x3+x3x1=() | x1x2x3=() |
| | ______,______,______. |
∵x3+px2+qx+r=(x-x1)(x-x2)(x-x3)=x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x-x1x2x3, ∴x1+x2+x3=-p,x1x2+x1x3+x2x3=q,x1x2x3=-r. |
核心考点
试题【设一元二次方程x2+px+q=0(p,q为常数)的两根为x1,x2,则x2+px+q=(x-x1)(x-x2),即x2+px+q=x2-(x1+x2)x+x1x】;主要考察你对
根与系数的关系等知识点的理解。
[详细]
举一反三
若x1,x2是方程x2+3x-5=0的两个根,则(x1+1)(x2+1)的值为( ) |
若方程x2-2x-1=0的二根为x1、x2,则代数式+的值是( ) |
如果一元二次方程x2-5x-7=0的两个根为α、β,那么α+β的值是( ) |
⊙O1和⊙O2的半径分别为方程:x2-7x+10=0的两个根,O1O2=2,则⊙O1和⊙O2的位置关系是( ) |
关于x的方程kx2+(k+2)x+=0有两个实数根. (1)求k的取值范围; (2)若|x1+x2|=x1x2+1,求k的值. |