题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

关于X的方程x2-(k+1)+

1

4

k2+1=0．
（1）若方程有两个实数根，求k的范围．
（2）当方程的两根是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为

5

时，求k的值．

答案

（1）依题意△=[-（k+1）]²-4×1×（

1

4

k²+1）=2k-3≥0，
∴k≥

3

2

；
（2）设方程的两根为x₁，x₂，
依题意x₁²+x₂²=（

5

）²，
∵x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=

1

4

k²+1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=5，
整理得：k²+4k-12=0，
∴k=-6或k=2，
当k=-6时，x₁+x₂=k+1=-5＜0，舍去，
∴k=2．