题目

题型：解答题难度：困难来源：北京模拟题

已知：关于x的一元一次方程kx=x+2①的根为正实数，二次函数y=ax²-bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1。（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；
（2）求代数式的值；
（3）求证：关于x的一元二次方程ax²-bx+c=0②必有两个不相等的实数根。

答案

解：（1）由kx=x+2，得（k-1）x=2，依题意k-1≠0
∴x=，
∵方程的根为正整数，k为整数，
∴k-1=1或k-1=2，
∴k₁=2，k₂=3；
（2）依题意，二次函数y=ax²-bx+kc的图象经过点（1，0），
∴0=a-b+kc，kc=b-a，
∴-1；
（3）证明：方程②的判别式为△=（-b）²-4ac=b²-4ac，
由a≠0，c≠0，得ac≠0，
（Ⅰ）若ac<0，则-4ac>0，故△=b²-4ac>0，此时方程②有两个不相等的实数根，
（Ⅱ）若ac>0，由（2）知a-b+kc=0，故b=a+kc
△=b²-4ac=（a+kc）²-4ac=a²+2kac+（kc）²-4ac=a²-2kac+（kc）²+4kac-4ac=（a-k）²+4ac（k-1）
∵方程k=x+2的根为正实数，
∴方程（k-1）x=2的根为正实数，由x>0，2>0，得k-1>0，
∴4ac（k-1）>0，
∵（a-k）²≥0，
∴△=（a-kc）²+4ac（k-1）>0此时方程②有两个不相等的实数根，
综上，方程②必有两个不相等的实数根。