题目

题型：解答题难度：困难来源：北京期中题

如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M从D点出发，以1个单位／秒的速度沿DA向终点A运动，同时动点N从A点出发，以2个单位／秒的速度沿AB向终点B运动．当其中一点到达终点时，运动结束．过点N作NP⊥AB，交AC于点P₁连结MP．已知动点运动了x秒．
（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）
（2）试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在这个运动过程中，△MPA能否为一个等腰三角形．若能，求出所有x的对应值；若不能，请说明理由．

答案

解：（1）PN=．
（2）过点P作PQ⊥AD交AD于点Q． 可知PQ=AN=2x．
依题意，可得AM=3-x．
∴S=·AM·PQ=·(3-x)·2x=-x²+3x=-．
自变量x的取值范围是：0＜x≤2．
∴当x=时，S有最大值，S_最大值=．
（3）△MPA能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：
①若PM=PA， ∵PQ⊥AD，∴MQ=QA=PN=．
又DM+MQ+QA=AD ∴4x=3，即x=．
②若MP=AM， MQ=AD-AQ-DM=3-，PQ=2x，MP=MA=3-x．
在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP²=MQ²+PQ²．
∴(3-x)²=(3-)²+(2x)²．
解得x=，x=0（不合题意，舍去）
③若AP=AM， 由题意可求AP=，AM=3-x．
∴=3-x．解得x=．
综上所述，当x=，或x=，或x=时，△MPA是等腰三角形．