题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的，处，直角边在轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至处时，设与分别交于点，与轴分别交于点．
（1）求直线所对应的函数关系式；
（2）当点是线段（端点除外）上的动点时，试探究：
①点到轴的距离与线段的长是否总相等？请说明理由；
②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及取最大值时点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，
知两点的坐标分别为．
设直线所对应的函数关系式为．
有解得
所以，直线所对应的函数关系式为．
（2）①点到轴距离与线段的长总相等．
因为点的坐标为，
所以，直线所对应的函数关系式为．
又因为点在直线上，
所以可设点的坐标为．
过点作轴的垂线，设垂足为点，则有．

因为点在直线上，所以有．
因为纸板为平行移动，故有，即．
又，所以．
法一：故，
从而有．
得，．
所以．
又有．
所以，得，而，
从而总有．
法二：故，可得．
故．
所以．
故点坐标为．
设直线所对应的函数关系式为，
则有解得
所以，直线所对的函数关系式为．
将点的坐标代入，可得．解得．
而，从而总有．
②由①知，点的坐标为，点的坐标为．

．
当时，有最大值，最大值为．
取最大值时点的坐标为．

解析

（1）根据图形得到知两点的坐标，然后利用待定系数法求出直线函数关系式；（2）根据图形得到点的坐标从而求出直线所对应的函数关系式为．根据点在直线设出P点的坐标.利用平移得到以及又，所以，然后得到三角形相似，从而得出线段成比例，从而证明h=BH.(3)将阴影部分的面积转化为.设出点的坐标为，点的坐标为，表示出，从而得到相应的二次函数.利用二次函数的性质求得阴影部分面积的最大值.