题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知自然数n的所有正约数的和是2n，则所有正约数的倒数和是多少？且证明你的结论．

答案

正约数的倒数和为2．
设其正约数依次为：x₁，x₂，x₃，x₄，…，x_m．
其中x₁=1，x_m=n，则x₁+x₂+x₃+…+x_m=2n，
∴

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

+…+

1

xm-1

+

1

xm

，
=（

1

x1

+

1

xm

）+（

1

x2

+

1

xm-1

）+…+（

1

xi

+

1

xm+1-i

），
=

x1+xm

x1•xm

+

x2+xm-1

x2•xm-1

+…+

xm+1-i+xi

xi•xm+1-i

，
=

2n

n

=2．