题目

题型：解答题难度：困难来源：同步题

你能比较2005²⁰⁰⁶与2006²⁰⁰⁵的大小吗？
为了解决这个问题，我们可先探索形如：n^（n+1）和（n+1）ⁿ的大小关系（n≥1，自然数）。为了探索其规律可从n=1、2、3、4、…这些简单的情形入手，从中观察、比较、猜想、归纳并得出结论。
（1）利用计算器比较下列各组中两个数的大小：（填“＜”“＞”）
①1²____________2¹；②2³____________3²；③3⁴____________4³；④4⁵____________5⁴；⑤5⁶____________6⁵。
（2）试归纳出nⁿ⁺¹与(n+1)ⁿ的大小关系是：______________。
（3）运用归纳出的结论，试比较2005²⁰⁰⁶与2006²⁰⁰⁴的大小。

答案

解：（1）通过计算可得＜ ＜ ＞ ＞ ＞；
（2）经过观察、比较、猜想可归纳出，
当n=1，2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；
当n＞3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（3）根据规律，当n＞3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，
得2005²⁰⁰⁶＞2006²⁰⁰⁵。