题目

题型：解答题难度：一般来源：河北省期中题

问题：你能比较两个数2002²⁰⁰³与2003²⁰⁰²的大小吗？
为了解决这个问题，我们先把它抽象成这样的问题：写成它的一般形式，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n是自然数）．然后，我们分析n=1，n=2，n=3…这些简单情形入手，从而发现规律，经过归纳，才想出结论．
（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小（在空格中填“＜”“＞”“=”）
①1²＜2¹②2³＜3²③3⁴＞4³④4⁵＞5⁴⑤5⁶＞6⁵⑥6⁶＞7⁵
（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系；
（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：2002²⁰⁰³＞2003²⁰⁰²．

答案

解：探究：
（1）①1²＜2¹②2³＜3²③3⁴＞4³④4⁵＞5⁴；
（2）当n=1或2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，当n≧3，且n为自然数时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（3）2002²⁰⁰³＞2003²⁰⁰²．