特征值与特征向量

　　基本定义

　　设A为n阶矩阵，若存在常数λ及n维非零向量x，使得Ax=λx，则称λ是矩阵A的特征值，x是A属于特征值λ的特征向量。

　　广义特征值

　　如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν其中A和B为矩阵。其广义特征值(第二种意义)λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0(其中det即行列式)构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。若B可逆，则原关系式可以写作Aν=λν ，也即标准的特征值问题。当B为非可逆矩阵(无法进行逆变换)时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。如果A和B是实对称矩阵，则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为A矩阵未必是对称的。

　　简介

　　计算矩阵的特征值和特征向量假设我们想要计算给定矩阵的特征值。若矩阵很小，我们可以用特征多项式进行符号演算。但是，对于大型矩阵这通常是不可行的，在这种情况我们必须采用数值方法。

　　符号演算

　　关于此话题更进一步的细节，见矩阵特征值的符号演算。

　　求特征值

　　描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式，λ是A的特征值等价于线性方程组(A – λI) v = 0 (其中I是单位矩阵)有非零解v (一个特征向量)，因此等价于行列式|A – λI|=0.函数p(λ) = det(A – λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和，这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。 反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。

　　求特征向量

　　一旦找到特征值λ，相应的特征向量可以通过求解方程(A – λI) v = 0 得到。没有实特征值的一个矩阵的例子是顺时针旋转90度。

　　数值计算

　　关于此话题更进一步的细节，见特征值算法。在实践中，大型矩阵的特征值无法通过特征多项式计算，计算该多项式本身相当费资源，而精确的“符号式”的根对于高次的多项式来说很难计算和表达：阿贝尔-鲁费尼定理显示高次(5次或更高)多项式的根无法用n次方根来简单表达。对于估算多项式的根的有效算法是有的，但特征值的小误差可以导致特征向量的巨大误差。求特征多项式的零点，即特征值的一般算法，是迭代法。最简单的方法是幂法：取一个随机向量v，然后计算一系列单位向量。这个序列几乎总是收敛于绝对值最大的特征值所对应的特征向量。这个算法很简单，但是本身不是很有用。但是，象QR算法这样的算法正是以此为基础的。