题目

如图所示，水平放置的两块带电金属板a、b平行正对．极板长度为l，板间距也为l，板间存在着方向竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里磁感强度为B的匀强磁场．假设电场、磁场只存在于两板间的空间区域．一质量为m的带电荷量为q的粒子（不计重力及空气阻力），以水平速度v₀从两极板的左端中间射入场区，恰好做匀速直线运动．求：

（1）金属板a、b间电压U的大小 ___
（2）若仅将匀强磁场的磁感应强度变为原来的2倍，粒子将击中上极板，求粒子运动到达上极板时的动能大小 ___
（3）若撤去电场，粒子能飞出场区，求v₀满足的条件 ___
（4）若满足（3）中条件，粒子在场区运动的最长时间 ___ ．

提问时间：2022-01-31

答案

（1）粒子匀速运动，受力平衡，根据受力平衡的条件可得：
q

U

l

=qv₀B，
所以电压：
U=lv₀B；
（2）仅将匀强磁场的磁感应强度变为原来的2倍，洛伦兹力变大，但是洛伦兹力与速度的方向垂直，洛伦兹力不做功，只有电场力对粒子做功，根据动能定理可得：
q•

1

2

U=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²
又因为 U=lv₀B
所以，粒子运动到达上极板时的动能大小为：
E_K=

1

2

mv₀²+

1

2

qBlv₀；
（3）当粒子恰好贴着右边界飞出时为速度的一个最值，
此时：圆心角为60度
则由几何关系可得r=

3

l
由牛顿第二定律得：qv₀B=m

v 2 0

r

解得：v₀=

5qBl

4m

所以速度：
v₀≥

5qBl

4m

当粒子从左边界飞出时，粒子做的是半径r=

1

4

l的半圆，此时有：
r=

1

4

l=

mv0

qB

所以此时的速度v₀≤

qBl

4m

；
（4）由于T=

2πm

qB

，与粒子的速度大小无关，所以圆心角为180度时运动时间最长，最长的时间为：
t=

1

2

T=

πm

qB

故答案为：
（1）U=lv₀B；
（2）E_K=

1

2

mv₀²-

1

2

qBlv₀；
（3）v0≤

qBl

4m

或v0≥

5qBl

4m

；
（4）

πm

qB

．

（1）粒子匀速运动，受力平衡，根据受力平衡的条件可求得电压的大小；
（2）磁场力对粒子不做功，只有电场力做功，求出电场力做的功即可；
（3）撤去电场，粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据运动的半径大小求速度的大小；
（4）根据粒子运动的周期公式分析可得到最长的运动时间．

本题考点：带电粒子在混合场中的运动．

考点点评：本题比较复杂，题目的变化的情况也很多，关键是分析清楚粒子在不同的情况下的运动情况，其中只有磁场的时候，粒子可以有两种离开磁场的情况，这是本题的易错点．