题目

设A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点间的球面距离为

π

3

，点A与B、C两点间的球面距离均为

π

2

，O为球心，
求：（1）∠AOB、∠BOC的大小；
（2）球心O到截面ABC的距离．

提问时间：2022-01-24

答案

如图，（1）因为球O的半径为1，B、C两点间的球面距离为

π

3

，
点A与B、C两点间的球面距离均为

π

2

，所以∠BOC=

π

3

，∠AOB=∠AOC=

π

2

．
（2）因为BC=1，AC=AB=

2

，所以由余弦定理得cos∠BAC=

3

4

，
sin∠BAC=

7

4

，设截面圆的圆心为O₁，连接AO₁，
则截面圆的半径R=AO₁，由正弦定理得r=

BC

2sin∠BAC

=

2 7

7

，
所以OO₁=

OA2−r2

=

21

7

．

（1）根据球面距离的定义可得）∠AOB、∠BOC的大小；
（2）欲求球心O到截面ABC的距离，截面圆的圆心为O₁，可通过解直角三角形AOO₁解决．

本题考点：球的性质；正弦定理；点、线、面间的距离计算．

考点点评：本题主要考查了球的性质、正弦定理解三角形以及点面间的距离计算，属于基础题．