题目

S=(x+1/2)(x+1/3)(x+1/4)……（x+1/100）用的是哪个公式
书上说是活用的乘法公式,但是我不清楚是哪一个乘法公式
原题是：有限集S的全部元素的积称为数集S的“积数”，今给出数集M={1/2，1/3，1/4,……，1/99，1/100}，试求M的所有奇数个元素子集的积数之和。
解析是：记S=(x+1/2)(x+1/3)(x+1/4)……(x+1/100)=a0+a1x+a2x^2+……+a99x^99
a0=(1/2)*(1/3)*……*(1/100)
a2=(1/2)*(1/3)*(1/4)+(1/3)*(1/4)*(1/5)+……+(1/98)*(1/99)*(1/100)
a98=1/2+1/3+……+1/100
依题意Q=a0+a2+a4+……+a98为所求
当x=1时，S1=(3/2)*(4/3)*(5/4)*……*(101/100)=101/2=a0+a1+……+a99
当x=-1时，S2=(-1/2)*(-2/3)*(-3/4)*……*(-99/100)=-1/100=a0-a1+a2-a3+……+a98-a99
所以：S1+S2=101/2-1/100=a0+a2+a4+……+a98=5049/100
请帮我解释一下第一步的公式

提问时间：2022-01-14

答案

S=(x+1/2)(x+1/3)(x+1/4)……(x+1/100)=a0+a1x+a2x^2+……+a99x^99
a0是常数项,就是前面所有括号中常数的乘积所以
a0=(1/2)*(1/3)*……*(1/100) [这里是99个数相乘,就是M的积数】
同理,如果要表示a1的话,就需要从前面99个括号里的其中一个取X,其他的括号里取常数,结果才能是X的一次项表达式,写出来的结果是99个98项常数相乘,比如从1/3*1/4*1/5*...*1/100,（这里只写出一个）
同理,a2是99个97项常数相乘,比如1/4*1/5*1/6*...*1/100,(同上)
你知道这个规律很重要；
我们再看题目,要求出“M的所有奇数个元素子集的积数之和”,就是我上面说的“99个常数相乘的积数（a0）”,加上“97个相乘的积数之和（a2）”,加上95（a4）个的,一直到单个元素的（a98）,
a0+a2+a4+……+a98就为所求；往后的就是单纯的计算了,相信你能看的懂；
再解答你关于“书上说是活用的乘法公式,但是我不清楚是哪一个乘法公式”
你发现通过设立公式
S=(x+1/2)(x+1/3)(x+1/4)……(x+1/100)=a0+a1x+a2x^2+……+a99x^99
然后分别令X=1,X=-1,再相加就可以保留编号为偶数的常数项,即a0+a2+a4+……+a98,就是题目要求的M的所有奇数个元素子集的积数之和；
这里不是固定的公式,仅是把99个括号中的X和常数乘开,变成一个关于X的多次多项式,为之后的X=1；X=-1做准备.