题目

若函数f(x)＝−

1

b

eax的图象在x=0处的切线l与圆C：x²+y²=1相交，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（　　）
A. 点在圆外
B. 点在圆内
C. 点在圆上
D. 不能确定

提问时间：2022-01-10

答案

∵f(x)＝−

1

b

eax，
∴f′(x)＝−

a

b

eax，
∴f′(0)＝−

a

b

，
∵f（0）=-

1

b

，
∴函数f(x)＝−

1

b

eax的图象在x=0处的切线l的方程为y+

1

b

=−

a

b

x，
即ax+by+1=0，
∵切线l与圆C：x²+y²=1相交，
∴

1

a2+b2

＜1，
∴a²+b²＞1，
∴点P在圆外．
故选A．

求导函数，可得函数f(x)＝−

1

b

eax的图象在x=0处的切线l的方程，利用切线l与圆C：x²+y²=1相交，可得

1

a2+b2

＜1，即a²+b²＞1，从而可判断点P（a，b）与圆C的位置关系．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题考查导数的几何意义，考查直线与圆、点与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用导数的几何意义是关键．