题目

两个相同的圆柱体垂直相交,问重合部分的体积.希望是用1重积分做!

提问时间：2022-01-04

答案

设圆柱面x^2+z^2=R^2,x^2+y^2=R^2,利用对称性,只求第一卦限部分,然后乘以8即可,
在XOY平面投影是圆x^2+y^2=R^的第一象限部分,被积函数为z=√（R^2-x^2)
V=8∫∫[Ω]√√（R^2-x^2)dxdy
=8∫[0,R]∫[0,√（R^2-x^2)]√（R^2-x^2)dxdy
=8∫[0,R]∫[0,√（R^2-x^2)]√(R^2-x^2)ydx
=8∫[0,R](R^2-x^2)dx
=8(R^2x-x^3/3)[0,R)
=8(R^3-R^3/3)
=16R^3/3.