题目

一条斜率为-2的光线,从中心在原点的双曲线右焦点F2(6,0)射出,射到双曲线上一点M,被双曲线沿F1M延长线方向反射经过点P(16,4)求这个双曲线的方程

提问时间：2022-01-04

答案

（1）设双曲线方程为
x2
a2
−
y2
b2
＝1(a＞0,b＞0)
由题知：a＝1,
c
a
＝2,∴c＝2,∴b2＝c2−a2＝3
∴双曲线方程为x2−
y2
3
＝1右焦点F（2,0）
故直线l的方程为y=x-2代入x2−
y2
3
＝1中得：2x2+4x-7=0
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则x1−x2＝−2,x1•x2＝−
7
2
∴|AB|＝
2
•
(x1+x2)2−4x1x2
＝6
∴半径r=3
（2）设双曲线方程为x2−
y2
c2−1
＝1,将y＝x−c代入并整理得（c2-2）x2+2cx-2c2+1=0,
由韦达定理：x1+x2＝
2c
2−c2
,x1x2＝
1−2c2
2−c2
设H(x0,y0),则x0＝
1
2
(x1+x2)＝
c
2−c2
y0＝x0−c＝
c3−c
2−c2
设圆半径为R且
HM
与
HN
的夹角为θ,
则R2cosθ＝−
16
3
R＝
1
2
|AB|＝
2
2
•
(x1+x2)2−4x1x2
＝2|
c2−1
c2−2
|
∴cos
θ
2
＝
x0−
1
c
R
＝
1
c
∴cosθ＝2cos2
θ
2
−1＝
2−c2
c
代入R2cosθ＝−
16
3
中
得：c2=3,
∴所求的双曲线方程为x2−
y2
2
＝1．