题目

已知函数f（x）=2^x+k•2^-x，k∈R．
（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，求实数k的取值范围．

提问时间：2021-12-31

答案

（1）∵函数f（x）=2x+k•2-x为奇函数，∴f（-x）=-f（x）∴2-x+k•2x=-（2x+k•2-x）∴（1+k）+（k+1）22x=0恒成立∴k=-1（2）∵对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2-x成立，∴2x+k•2-x＞2-x成立∴1-k＜22x对任意的...

（1）利用函数f（x）=2^x+k•2^-x为奇函数，建立等式，即可求实数k的值；
（2）对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，即2^x+k•2^-x＞2^-x成立，即1-k＜2^2x对任意的x∈[0，+∞）成立，从而可求实数k的取值范围．

本题考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．

考点点评：本题考查函数的奇偶性，考查恒成立问题，解题的关键是利用奇偶性的定义，利用分离参数法求解恒成立问题．