题目

某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把．于是，他逐把不重复地试开，问：
（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？
（2）三次内打开的概率是多少？
（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？

提问时间：2021-12-26

答案

由题意知本题是一个古典概型，
试验包含的所有事件是5把钥匙，逐把试开有A₅⁵种等可能的结果．
（1）满足条件的事件是第三次打开房门的结果有A₄⁴种，
因此第三次打开房门的概率P（A）=

A 4 4

A 5 5

=

1

5

．
（2）三次内打开房门的结果有3A₄⁴种，
所求概率P（A）=

3 A 4 4

A 5 5

=

3

5

．
（3）∵5把内有2把房门钥匙，
故三次内打不开的结果有A₃³A₂²种，
从而三次内打开的结果有A₅⁵-A₃³A₂²种，所求概率P（A）=

A 5 5 − A 3 3 A 2 2

A 5 5

=

9

10

．

（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是5把钥匙，逐把试开相当于把五把钥匙排列有A₅⁵种等可能的结果．满足条件的事件是第三次打开房门，根据古典概型公式得到结果．
（2）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是5把钥匙，逐把试开相当于把五把钥匙排列有A₅⁵种等可能的结果．三次内打开房门包括三种情况，列出算式，得到结果．
（3）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件同前面一样，而满足条件的事件的对立事件是三次内打不开，用对立事件的概率公式得到结果．

本题考点：排列、组合及简单计数问题；等可能事件的概率．

考点点评：本题还可以这样解：三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果有C₂¹A₃¹A₂¹A₃³种；三次内恰有2次打开的结果有A₃²A₃³种．
因此，三次内打开的结果有C₂¹A₃¹A₂¹A₃³+A₃²A₃³种，求比值得到结果．