题目

（北京卷文15）已知函数f（x）=2cos2x+sin²x
（Ⅰ）求f（

π

3

）的值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．

提问时间：2021-12-26

答案

（I）f（

π

3

）=2cos

2π

3

+(sin

π

3

)2=-1+

3

4

=-

1

4

（II）f（x）=2（2（cosx）²-1）+（1-（cosx）²）=3（cosx）²-1
∵cosx∈[-1，1]
∴cosx=±1时f（x）取最大值2
cosx=0时f（x）取最小值-1

（I）直接代入函数解析式求解即可．
（II）先用降幂公式，辅助角公式，再用换元法将函数转化为二次函数求最值．

本题考点：三角函数的最值；二倍角的余弦．

考点点评：本题主要考查了三角函数的求值，恒等变换和最值问题，也考查了二倍角公式及辅助角公式．