题目

如图，△ABC中，E是△ABC的内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，求证：DE=DB．

提问时间：2021-12-25

答案

连接BE，
∵E为内心，
∴AE，BE分别为∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴∠BED=∠BAE+∠EBA，∠EBA=∠EBC，∠BAE=∠EAC，
∴∠BED=∠EBC+∠EAC，∠EBD=∠EBC+∠CBD，
∵

CD

=

CD

，
∴∠EAC=∠CBD，
∴∠EBD=∠BED，
∴DE=BD．

首先连接BE，由E是内心，易证得∠BED=∠EBC+∠EAC，∠EBD=∠EBC+∠CBD，又由同弧所对的圆周角相等，证得∠EAC=∠CBD，则可得∠EBD=∠BED，即可证得DE=BD；

本题考点：三角形的内切圆与内心．

考点点评：此题考查了圆的内心的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．