题目

设O为坐标原点，曲线x²+y²+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足

OP

•

OQ

=0．
（1）求m的值；
（2）求直线PQ的方程．

提问时间：2021-12-25

答案

（1）曲线方程为（x+1）²+（y-3）²=9表示圆心为（-1，3），半径为3的圆．
∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，
∴圆心（-1，3）在直线上．代入得m=-1．
（2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，
∴设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程为y=-x+b．
将直线y=-x+b代入圆方程，得2x²+2（4-b）x+b²-6b+1=0．
△=4（4-b）²-4×2×（b²-6b+1）>0，得2-3

2

<b<2+3

2

．
由韦达定理得x₁+x₂=-（4-b），x₁•x₂=

b2−6b+1

2

．
y₁•y₂=b²-b（x₁+x₂）+x₁•x₂=

b2−6b+1

2

+4b．
∵

OP

•

OQ

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即b²-6b+1+4b=0．
解得b=1∈（2-3

2

，2+3

2

）．
∴所求的直线方程为y=-x+1．

（1）曲线x²+y²+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，说明曲线是圆，直线过圆心，易求m的值；
（2）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程为y=-x+b．联立方程组，结合韦达定理，以及

OP

•

OQ

=0． 求得k的方程，然后求直线PQ的方程．

本题考点：直线的一般式方程；直线和圆的方程的应用．

考点点评：本题考查直线与圆的方程的应用，直线的一般式方程，考查函数与方程的思想，是中档题．