题目

等腰梯形ABCD中,DA.CB为腰 ab等于2倍的根号2,cd等于根号6且梯形abcd的面积为1加2分之根号3,若分别以a,b为椭圆E的左右焦点,且c,d在椭圆E上 求椭圆E的标准方程 若mn是椭圆上两点,o为ab的中点,且满足向量om乘以向量on等于0求向量mm的绝对值的最小值!半小时搞定加分 我口述的 最好先按照这些在纸上把题目写出来先

提问时间：2021-12-25

答案

请看LL的
ab=2√2,cd=√6,S=1+√3/2,所以梯形高为1/√2,
分别以a,b为椭圆E的左右焦点,且c,d在椭圆E上 ,则c=√2,a²=b²+c²=b²+2,A（√2,0）,B（-√2,0）C（√6/2,-1/√2）D（-√6/2,-1/√2）,椭圆标准方程为x²/a²+y²/b²=1,将C点且a²=b²+2带进方程得2b^4-2=0,b²=1,a²=2,所以标准方程为x²/2+y²=1
om乘以向量on等于0表明OM⊥ON,设M（√2cosα,sinα）,N(√2cosβ,sinβ),α与β相差90°,OM*ON=2cosαcosβ+sinαsinβ=0,2cosαcosβ+sinαsinβ=0,向量MN=（√2cosα-√2cosβ,sinα-sinβ）,|MN|²=（√2cosα-√2cosβ）²+（sinα-sinβ）²=2cos²α-4cosαcosβ+2cos²β+sin²α-2sinαsinβ+sin²β=1+1+cos²α-4cosαcosβ+cos²β-2sinαsinβ
∵2cosαcosβ+sinαsinβ=0,∴-4cosαcosβ-2sinαsinβ=0
|MN|²=2+cos²α+cos²β=3+（cos2α+cos2β）/2
根据万能公式,cos2α＋cos2β＝2cos[(α＋β)]·cos[(α－β)]
|MN|²=3+cos(α＋β)·cos(α－β)由于 α与β相差90°,所以|MN|²=3+cos（2α-90°）*cos90°=3,所以MN绝对值的最小值为√3