题目

奇函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式（x-1）f（x+1）＞0的解集为（　　）
A. （-2，-1）∪（1，2）
B. （-3，1）∪（2，+∞）
C. （-3，-1）
D. （-2，0）∪（2，+∞）

提问时间：2021-12-25

答案

∵函数f（x）是奇函数，在区间（-∞，0）上单调递减，且f （2）=0，
∴f （-2）=-f（2）=0，且在（0，+∞）上单调递减
故当x＜-2或0＜x＜2 时，f（x）＞0，当-2＜x＜0或x＞2时，f（x）＞0．
由不等式（x-1）•f（x+1）＞0可得x-1与f（x+1）同号．
∴

x−1＞0 f(x+1)＞0

或

x−1＜0 f(x+1)＜0

∴

x＞1 x+1＜−2或0＜x+1＜2

或

x−1＜0 x+1＞2或−2＜x+1＜0

解不等式可得，-3＜x＜-1
∴不等式的解集为 （-3，-1）
故选C

由题意可得 f （2）=0，且在（0，+∞）上单调递减，故当x＜-2或0＜x＜2 时，f（x）＞0，当-2＜x＜0或x＞2时，f（x）＞0．由此易求得（x-1）•f（x+1）＞0的解集．

本题考点：奇偶性与单调性的综合．

考点点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，体现了转化的数学思想，判断出当x＜-2或0＜x＜2 时，f（x）＞0，当-2＜x＜0或x＞2时，f（x）＞0，是解题的关键．