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题目
CD是Rt△ABC斜边上的高线,AD、BD是方程x2-6x+4=0的两根,则△ABC的面积为______.

提问时间:2021-12-25

答案
∵AD、BD是方程x2-6x+4=0的两根,
∴AD+BD=6,AD•BD=4,
∵∠ACB=90°,CD⊥AB于D,
∴△DBC∽△DCA,
CD
AD
=
DB
CD

∴CD2=AD•BD,
∴CD=
AD×BD
=2,
∴S△ABC=
1
2
×(AD+BD)×CD=6.
故填:6.
由AD、BD是方程x2-6x+4=0的两根可以得到AD+BD=6,AD•BD=4,易证△DBC∽△DCA,可得到CD=
AD×BD
=2,而△ABC的面积=
1
2
×(AD+BD)×CD,由此可以求出面积.

相似三角形的判定与性质;根与系数的关系.

此题难点是利用相似求得斜边上的高,解题关键是得到所求三角形相应的底与高的长.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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