题目

CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程x²-6x+4=0的两根，则△ABC的面积为______．

提问时间：2021-12-25

答案

∵AD、BD是方程x²-6x+4=0的两根，
∴AD+BD=6，AD•BD=4，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴△DBC∽△DCA，
∴

CD

AD

=

DB

CD

，
∴CD²=AD•BD，
∴CD=

AD×BD

=2，
∴S_△ABC=

1

2

×（AD+BD）×CD=6．
故填：6．

由AD、BD是方程x²-6x+4=0的两根可以得到AD+BD=6，AD•BD=4，易证△DBC∽△DCA，可得到CD=

AD×BD

=2，而△ABC的面积=

1

2

×（AD+BD）×CD，由此可以求出面积．

本题考点：相似三角形的判定与性质；根与系数的关系．

考点点评：此题难点是利用相似求得斜边上的高，解题关键是得到所求三角形相应的底与高的长．