题目

在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）若a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．

提问时间：2021-12-25

答案

（Ⅰ）由A、B、C成等差数列，有2B=A+C，
∵A、B、C为△ABC的内角，
∴A+B+C=π，
∴B=

π

3

；
（Ⅱ）证明：由a、b、c成等比数列，b²=ac，
由余弦定理可得，b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
代入得a²+c²-ac=ac，即（a-c）²=0，
∴a=c，即A=C，
∴A=B=C=

π

3

，
则△ABC为等边三角形．

（Ⅰ）由A、B、C成等差数列得到2B=A+C，利用内角和定理求出B的值即可；
（Ⅱ）根据a、b、c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理列出关系式，将得出关系式代入得到a=c，利用等边对等角得到A=C，即可确定出三角形形状．

本题考点：余弦定理．

考点点评：此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握定理是解本题的关键．