题目

已知函数f（x）=lnx+（1-x）/ax,其中a为大于0的常数.求证：f（x）-（1-x）/ax大于等于（x-1）/(a^2+1)x,在区间[1,+&)上恒成立

提问时间：2021-12-21

答案

f(x)-（1-x）/ax=lnx+（1-x）/ax-（1-x）/ax=lnx,
即要证x>1时,lnx>=（x-1）/(a^2+1)x
（a^2+1）xlnx>=x-1
令G(x)=（a^2+1）xlnx-x+1
G'(x)=（a^2+1）(1+lnx)-1
=（a^2+1）lnx+a^2,x>=1,lnx>=0,a>0,得G'(x)>=0
得G(x)>=G(1)=0
即（a^2+1）xlnx-x+1>=0
（a^2+1）xlnx>=x-1
原式得证.