题目

已知函数f（x）=|x-2|+x+m．
（1）若函数f（x）的值域是[2，+∞），试确定m的值；
（2）设函数g（x）=|x+1|，且当x≤3时，g（x）≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

提问时间：2021-12-21

答案

（1）f（x）=|x-2|+x+m=2x+m−2，x≥2m+2，x＜2，∵函数f（x）=2x+m-2为增函数，∴当x=2时函数有最小值为m+2，∴函数f（x）的值域是[m+2，+∞），又函数f（x）的值域是[2，+∞），∴m=0；（2）∵f（x）=|x-2|+x+m，g...

（1）写出分段函数，利用一次函数的单调性求得函数的值域，结合函数f（x）的值域是[2，+∞）求得m的值；
（2）把当x≤3时，g（x）≥f（x）恒成立转化为m≤|x+1|-|x-2|-x当x≤3时恒成立，构造辅助函数
t（x）=|x+1|-|x-2|-x（x≤3），分段求其最小值后得答案．

本题考点：函数恒成立问题；函数的值域．

考点点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．