题目

选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）解不等式：|2x-1|-|x|＜1；
（Ⅱ）设f（x）=x²-x+1，实数a满足|x-a|＜1，求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

提问时间：2021-12-21

答案

（Ⅰ）当x＜0时，原不等式可化为-2x+x＜0，解得x＞0，又∵x＜0，∴x不存在．
当0≤x＜

1

2

时，原不等式可化为-2x-x＜0，解得x＞0，又∵0≤x＜

1

2

，∴0＜x＜

1

2

．
当x≥

1

2

时，原不等式可化为2x-1-x＜1，解得x＜2，又∵x≥

1

2

，∴

1

2

≤x＜2．
综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．                       
（Ⅱ）∵f（x）=x²-x+1，实数a满足|x-a|＜1，
故|f（x）-f（a）|=|x²-x-a²+a|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1）．
∴|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

（Ⅰ）分x＜0、0≤x＜

1

2

、x≥

1

2

三种情况，分别去掉绝对值，求出不等式的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）根据|f（x）-f（a）|=|x²-x-a²+a|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a|+1，证得结果．

本题考点：绝对值不等式；二次函数的性质．

考点点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，用放缩法证明不等式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．