题目

已知 a1=1 a2=2 an+2=an+1+an 求证 n次根下（an+1)>= 1+1/(n次根下an)

提问时间：2021-12-21

答案

这实际上是一个斐波那契数列.
设二次方程 x^2-x-1=0 的两根分别为 x1 、x2 ,
可得 x1+x2=1 ,x1*x2=-1 .【事实上,x1=(1+√5)/2 ,x2=(1-√5)/2 .】
由 a(n+2)=a(n+1)+an 得 an=a(n-1)+a(n-2) （n>=3）,
所以 an-x1*a(n-1)=x2*[a(n-1)-x1*a(n-2)]
an-x2*a(n-1)=x1*[a(n-1)-x2*a(n-2)]
因此,数列｛an-x1*a(n-1)｝及｛an-x2*a(n-1)｝均是等比数列 ,
所以 an-x1*a(n-1)=(2-x1)*x2^(n-2) ,(1)
an-x2*a(n-1)=(2-x2)*x1^(n-2) (2)
(2)*x1-(1)*x2 得 an*(x1-x2)=(2-x2)*x1^(n-1)-(2-x1)*x2^(n-1) ,
化简得 an=1/√5*{[(1+√5)/2]^(n+1)-[(1-√5)/2]^(n+1)}
本人能力有限,以下证明靠你自己了.