题目

求y=x2的两条相互垂直切线的交点的集合(或轨迹)
麻烦说下具体步骤,
似乎只能确定y=-1/4 x呢？

提问时间：2021-12-21

答案

两个且点为A（a,a^2)、B(b,b^2)
对函数y=x^2求导,y'=2x
∴在点x=a和x=b处的切线的斜率分别为2a和2b
∴二切线的方程分别为y-a^2=2a(x-a)和y-b^2=2b(x-b)
即2ax-y-a^2=0……①
2bx-y-b^2=0……②
①b-②a :(a-b)y-ab(a-b)=0
∵a≠b
∴y-ab=0
又∵二切线互相垂直,∴2a.2b=-1即4ab=-1
代入上式得：二切线交点的轨迹方程 y=-1
设二切线交点为P（a,b）,切线斜率为k
则过点P的切线方程为 y-b=k(x-a)
次方程与y=x^2联立得x^2-kx+ka-b=0
则△=0 即 k^2-4(ka-b)=0 即 k^2-4ak+4b=0
∴k1.k2=4b (1、2是k的下标）
∵二切线互相垂直,∴4b=-1 即b=-1/4
∴P点轨迹是y=-1/4