题目

已知一个动圆与圆C：（x+4）²+y²=100相内切，且过点A（4，0），则动圆圆心的轨迹方程______．

提问时间：2021-12-20

答案

设动圆圆心为B，半径为r，圆B与圆C的切点为D，
∵圆C：（x+4）²+y²=100的圆心为C（-4，0），半径R=10，
∴由动圆B与圆C相内切，可得|CB|=R-r=10-|BD|，
∵圆B经过点A（4，0），
∴|BD|=|BA|，得|CB|=10-|BA|，可得|BA|+|BC|=10，
∵|AC|=8＜10，
∴点B的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，
设方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1（a＞b＞0），可得2a=10，c=4，
∴a=5，b²=a²-c²=16，得该椭圆的方程为

x2

25

+

y2

16

＝1．
故答案为：

x2

25

+

y2

16

＝1

设动圆圆心为B，圆B与圆C的切点为D，根据相内切的两圆性质证出|CB|=10-|BD|=10-|BA|，可得|BA|+|BC|=10，
从而得到B的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，根据椭圆的标准方程与基本概念加以计算，可得所求轨迹方程．

本题考点：轨迹方程．

考点点评：本题给出动圆满足的条件，求动圆圆心的轨迹方程．着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系和动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．