题目

一家有80000订户的地方日报计划提高其订阅价格.现
在的价格为每周1.5美元.据估计如果每周提高订价10美
分,就会损失5000订户.
（1）求使利润最大的订阅价格?
（2）对（1）中所得结论讨论损失5000订户这一参
数的灵敏性.分别假设这个参数值为：3000、4000、5000
、6000及7000,计算最优订阅价格.
（3）设n=5000为提高定价10美分而损失的订户数.
求最优订阅价格p作为n的函数关系.并用这个公式来求灵
敏性S(p,n).
（4）这家报纸是否应该改变其订阅价格?用通俗
易懂的语言说明你的结论.

提问时间：2021-12-20

答案

首先设每周提高定价n美分,每提高10美分损失y名客户,设总销售收入p(n)：
p(n)=（1.5+n）(80000-yn/10)=120000-0.15yn+80000n-(y/10)*n^2
(1)方法一：y=5000
总销售收入为：120000-750x+80000n-500n^2
=120000-(500n^2-79250)
=120000-500(n^2-158.5)
=120000-500(n^2-2*79.25+79.25^2)+79.25^2
=126280.5625-(n-79.25)^2
当n=79.25时取得最大,最收入为126280.5625美分
方法二：设总销售收入p(n)=120000-750n+80000n-500n^2
p(n)'=-750+80000-10000n
p(n)'=0时,总销售收入为最大.即-750+80000-10000n=0,n=79.25,带入p(n)=126280.5625
（2）以上述的方法一（配方法）,方法二（导数法）,将y=3000,4000,5000,6000,7000,带入计算.
（3）p(n)=120000-79250n-500n^2
(4)订阅的价格适当提高虽然降低了客户数量,但由于价位的变化使得总收入增加,当订阅的价格提升太多,导致客户数减少的过多,会使得总收入下降.
如5000为提高定价10美分而损失的订户数,总收入p(n)==126280.5625-(n-79.25)^2,n从0美分提高到79.25美分过程中,总收入在增加,n从79.25变大,总收入逐渐减小.