题目

如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．

（1）求证：FD²=FB•FC；
（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由．

提问时间：2021-12-20

答案

（1）证明：∵E是Rt△ACD斜边中点，∴DE=EA，∴∠A=∠2，（1分）∵∠1=∠2，∴∠1=∠A，（2分）∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A，∴∠FDC=∠FBD，∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC．（4分）∴FB...

（1）要求证：FD²=FB•FC，只要证明△FBD∽△FDC，从而转化为证明∠FDC=∠FBD；
（2）要证DG⊥EF，只要证明∠5+∠1=90°，转化为证明∴∠3=∠4即可．

本题考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．

考点点评：证明线段的积相等可以转化为证明三角形相似，证明两直线垂直转化为证明形成的角是直角．