题目

已知函数f(x)＝sinxcosx+

3

2

(cos2x−sin2x)．
（Ⅰ）求f(

π

6

)的值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值及单调递增区间．

提问时间：2021-12-20

答案

（Ⅰ）f（x）=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x（3分）
=sin(2x+

π

3

)2（5分）
所以f(

π

6

)=sin(2×

π

6

+

π

3

)＝sin

2π

3

＝

3

2

．（7分）
（Ⅱ）当x＝kπ+

π

12

（k∈Z）时，f（x）的最大值是1．（9分）
由−

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
得−

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z．
所以f（x）的单调递增区间为[−

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z．（13分）

（I）利用三角函数的二倍角公式及公式asinx+bcosx＝

a2+b2

sin(x+θ)将三角函数化为只含一个角一个函数名的形式，
将x用

π

6

代替求出函数值．
（II）利用三角函数的有界性求出最大值，利用整体代换的思想令2x+

π

3

∈[2kπ−

π

2

，2kπ+

π

2

]求出x的范围即单调递增区间

本题考点：三角函数的最值；正弦函数的单调性．

考点点评：本题考查二倍角公式、公式asinx+bcosx＝

a2+b2

sin(x+θ)、三角函数的有界性、整体代换的思想．