题目

已知函数f（x）=x²-2x+5．
（1）是否存在实数m，使不等式m+f（x）＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
（2）若存在一个实数x₀，使不等式m-f（x₀）＞0成立，求实数m的取值范围．

提问时间：2021-12-20

答案

（1）不等式m+f（x）＞0可化为m＞-f（x），即m＞-x²+2x-5=-（x-1）²-4．
要使m＞-（x-1）²-4对于任意x∈R恒成立，只需m＞-4即可．
故存在实数m，使不等式m+f（x）＞0对于任意x∈R恒成立，此时只需m＞-4．
（2）∵m-f（x₀）＞0，∴m＞f（x₀）．
∵f（x₀）=

x

2 0

-2x₀+5=（x₀-1）²+4≥4．
∴m＞4．

（1）不等式m+f（x）＞0可化为m＞-f（x），求出右边的最大值，即可求得m的范围；
（2）m-f（x₀）＞0可化为m＞f（x₀），求出右边的最小值，即可求实数m的取值范围．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查恒成立问题，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．