题目

已知f(x)＝ax+

b

x

+3−2a(a，b∈R)的图象在点（1，f（1）处的切线与直线y=3x+1平行．
（1）求a与b满足的关系式；
（2）若a＞0且f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

提问时间：2021-12-20

答案

（1）f′（x）=a-

b

x2

，
由于f(x)＝ax+

b

x

+3−2a(a，b∈R)的图象在点（1，f（1）处的切线与直线y=3x+1平行，
则有f′（1）=a-b=3，即b=a-3，
此时，f（1）=a+a-3+3-2a=0≠4，
（2）由f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立，得
ax+

a−3

x

+3-2a-3lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，
令g（x）=ax+

a−3

x

+3-2a-3lnx，x∈[1，+∞）
则g（l）=0，g′（x）=a-

a−3

x2

-

3

x

=

a(x− 3−a a )(x−1)

x2

．
（i）当a＞

3

2

，

3−a

a

≤l
则g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以g（x）≥g（l）=0，f（x）＞3lnx，故f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立．
（ii）a=

3

2

时，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以g（x）≥g（l）=0，f（x）＞3lnx，故f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立．
（iii）当0＜a＜

3

2

，

3−a

a

＞l，
则x∈（1，

3−a

a

）时，g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）上是减函数，
x∈（

3−a

a

，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以存在x₀∈（1，

3−a

a

），使得g（x₀）＜g（l）=0，即存在x₀∈（1，

3−a

a

），使得f（x₀）＞3lnx₀不成立，
综上所述，所求a的取值范围为[

3

2

，+∞）．

（1）根据f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线y=3x+1平行建立等式关系：f'（1）=3，即可求出a与b的关系式；
（2）先构造函数g（x）=f（x）-3lnx=ax+

a−3

x

+3-2a-3lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论思想，属于中档题．