题目

已知实数a、b、c、d互不相等，且a+

1

b

＝b+

1

c

＝c+

1

d

＝d+

1

a

＝x，试求x的值．

提问时间：2021-12-20

答案

由已知有a+

1

b

=x，①； b+

1

c

=x，②；c+

1

d

=x，③；d+

1

a

=x，④；
由①解出b＝

1

x−a

⑤代入②得c＝

x−a

x2−ax−1

⑥
将⑥代入③得

x−a

x2−ax−1

+

1

d

＝x
即dx³-（ad+1）x²-（2d-a）x+ad+1=0⑦
由④得ad+1=ax，代入⑦得（d-a）（x³-2x）=0
由已知d-a≠0，∴x³-2x=0
若x=0，则由⑥可得a=c，矛盾．
故有x²=2，x=±

2

由已知a+

1

b

=x； b+

1

c

=x；c+

1

d

=x；d+

1

a

=x；得出a与b的关系式，进而得出a与c的关系式，得出a与d的关系式，分析得出x的值．

本题考点：分式的等式证明．

考点点评：此题主要考查了分式的等式变形，运用未知数简介代换得出两式相乘等于0的形式，是解决问题的关键．