题目

如图，在⊙O中弦AB⊥CD于点E，过E作AC的垂线交BD于点Q，P为垂足，求证Q为BD的中点．

提问时间：2021-12-20

答案

证明：∵AB⊥CD于点E，过E作AC的垂线交BD于点Q，
∴三角形ACE、三角形PCE、三角形APE、三角形BED都是直角三角形．
∴∠DEQ=∠CEP（对顶角相等）．
∠CEP=∠A（同角的余角相等）．
又∵∠A=∠D（同弧所对的圆周角相等），
∴∠DEQ=∠D，∴EQ=QD（等角对等边）．
又∵∠QEB=∠B（等角的余角相等），
∴EQ=QB．
∴EQ=QD=QB，即Q为BD的中点．

在Rt△ACE，Rt△ACE中有∠CEP=∠A，∠DEQ与∠CEP是对顶角，由同弧所对的圆周角相等得∠A=∠D，∴∠DEQ=∠D，∴EQ=QD再根据等角的余角相等得∠QEB=∠B，∴EQ=QB，∴EQ=QD=QB，即Q为BD的中点．

本题考点：圆心角、弧、弦的关系．

考点点评：本题利用了直角三角形的性质、同弧所对的圆周角相等、等角的余角相等，等角对等边求解．