题目
如图1,Rt△ABC中,∠A=90°,tanB=
,点P在线段AB上运动,点Q、R分别在线段BC、AC上,且使得四边形APQR是矩形.设AP的长为x,矩形APQR的面积为y,已知y是x的函数,其图象是过点(12,36)的抛物线的一部分(如图2所示).
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7c1ed21b0ef41bd5af420d7452da81cb39db3d18.jpg)
(1)求AB的长;
(2)当AP为何值时,矩形APQR的面积最大,并求出最大值.
为了解决这个问题,孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论:
张明:图2中的抛物线过点(12,36)在图1中表示什么呢?
李明:因为抛物线上的点(x,y)是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系,那么,(12,36)表示当AP=12时,AP的长与矩形APQR面积的对应关系.
赵明:对,我知道纵坐标36是什么意思了!
孔明:哦,这样就可以算出AB,这个问题就可以解决了.请根据上述对话,帮他们解答这个问题.
3 |
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7c1ed21b0ef41bd5af420d7452da81cb39db3d18.jpg)
(1)求AB的长;
(2)当AP为何值时,矩形APQR的面积最大,并求出最大值.
为了解决这个问题,孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论:
张明:图2中的抛物线过点(12,36)在图1中表示什么呢?
李明:因为抛物线上的点(x,y)是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系,那么,(12,36)表示当AP=12时,AP的长与矩形APQR面积的对应关系.
赵明:对,我知道纵坐标36是什么意思了!
孔明:哦,这样就可以算出AB,这个问题就可以解决了.请根据上述对话,帮他们解答这个问题.
提问时间:2021-12-18
答案
(1)当AP=12时,AP•PQ=36,
∴PQ=3,
又在Rt△BPQ中,tanB=
,
∴
=
∴PB=4.
∴AB=16.
(2)若AP=x,则PB=16-x,PQ=
(16-x),
∴y=
(16-x)x,
整理得y=-
(x-8)2+48.
∴当x=8时,y最大值=48.
∴PQ=3,
又在Rt△BPQ中,tanB=
3 |
4 |
∴
PQ |
PB |
3 |
4 |
∴PB=4.
∴AB=16.
(2)若AP=x,则PB=16-x,PQ=
3 |
4 |
∴y=
3 |
4 |
整理得y=-
3 |
4 |
∴当x=8时,y最大值=48.
(1)由于y是x的函数且过(12,36)点,即AP=12时,矩形的面积为36,可求出PQ的长,进而在直角三角形BPQ中得出BP的值,根据AB=AP+BP即可求出AB的长.
(2)与(1)类似,可先用AP表示出BP的长,然后在直角三角形BPQ中,表示出PQ的长;根据矩形的面积计算方法即可得出关于y,x的函数关系式.然后可根据得出的函数的性质求出矩形的最大面积以及此时对应的x的值.
(2)与(1)类似,可先用AP表示出BP的长,然后在直角三角形BPQ中,表示出PQ的长;根据矩形的面积计算方法即可得出关于y,x的函数关系式.然后可根据得出的函数的性质求出矩形的最大面积以及此时对应的x的值.
二次函数综合题.
本题结合三角形、矩形的相关知识考查了二次函数的应用,用数形结合的思路求得相应的函数关系式是解题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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