题目

若a、b、c是常数，则“a＞0且b²-4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax²+bx+c＞0”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

提问时间：2021-12-18

答案

若a＞0且b²-4ac＜0，则对任意x∈R，有ax²+bx+c＞0，
反之，则不一定成立．如a=0，b=0且c＞0时，也有对任意x∈R，有ax²+bx+c＞0．
故“a＞0且b²-4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax²+bx+c＞0”的充分不必要条件
故选A

要判断“a＞0且b²-4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax²+bx+c＞0”什么条件，我们要先假设“a＞0且b²-4ac＜0”成立，然后判断“对任意x∈R，有ax²+bx+c＞0”是否成立，然后再假设“对任意x∈R，有ax²+bx+c＞0”成立，再判断“a＞0且b²-4ac＜0”是否成立，然后根据结论，结合充要充要条件的定义，即可得到结论．

本题考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．

考点点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．