题目

已知：如图，△ABC内接于圆，AD⊥BC于D，弦BH⊥AC于E，交AD于F．求证：FE=EH．

提问时间：2021-12-18

答案

证明：连接AH，
∵AD⊥BC，BH⊥AC，
∴∠FDB=∠AEF=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠EAF=∠FBD，
∵∠HAC=∠HBC，
∴∠HAE=∠EAF，
∵BH⊥AC，
∴∠AEF=∠AEH=90°，
在△AEF和△AEH中，

∠DAE＝∠HAE AE＝AE ∠AEF＝∠AEH

∴△AEF≌△AEH（ASA），
∴FE=EH．

首先连接AH，由AD⊥BC，BH⊥AC与∠AFE=∠BFD，即可得∠EAF=∠FBD，又由圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠HAC=∠HBC，即可得∠HAE=∠FAE，则可用ASA证得△AEF≌△AEH，继而证得FE=EH．

本题考点：圆周角定理．

考点点评：此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．