题目

如图，底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD，点E在PD上，且PE：ED=2：1，问：在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

提问时间：2021-12-18

答案

存在点F为PC的中点，使BF∥平面AEC
理由如下：
取棱PC的中点F，线段PE的中点M，连接BD．设BD∩AC=O．
连接BF，MF，BM，OE．
∵PE：ED=2：1，F为PC的中点，E是MD的中点，
∴MF∥EC，BM∥OE．
∵MF⊄平面AEC，CE⊂平面AEC，BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，
∴MF∥平面AEC，BM∥平面AEC．
∵MF∩BM=M，
∴平面BMF∥平面AEC．
又BF⊂平面BMF，
∴BF∥平面AEC．

取棱PC的中点F，线段PE的中点M，连接BD．设BD∩AC=O．连接BF，MF，BM，OE．结合菱形的性质及三角形中位线定理及面面平行的判定定理可得平面BMF∥平面AEC，进而由面面平行的性质得到BF∥平面AEC．

本题考点：直线与平面平行的判定．

考点点评：题考查的知识点是直线与平面平行的判定，关键是证得平面BMF∥平面AEC．