题目

设函数f(x)=x(e^x-1)-ax² a属于R
1.若a=1/2 求f(x)的单调增区间 （这步我已经写出来了,主要求解第二步）
2.若当x≥0时,f(x）≥0恒成立,求实数a的取值范围.

提问时间：2021-12-17

答案

第二个问题：
∵f（x）＝x（e^x－1）－ax^2,∴f（0）＝0.
∴f（x）≧0在区间［0,＋∞）上恒成立,∴需要：f（x）在区间［0,＋∞）上是增函数.
∴需要：f′（x）＝e^x－1＋xe^x－2ax＞0.
∵f′（0）＝0,∴需要f′（x）在区间［0,＋∞）上是增函数.
∴需要：f″（x）＝e^x＋e^x＋xe^x－2a＝2e^x＋xe^x－2a＞0.······①
令g（x）＝2e^x＋xe^x,则：
g′（x）＝2e^x＋e^x＋xe^x＝3e^x＋xe^x,g″（x）＝3e^x＋e^x＋xe^x＝4e^x＋xe^x.
显然,在区间［0,＋∞）上,g′（x）＞0、g″（x）＞0,∴在g′（x）＝0时,g（x）有最小值.
令g′（x）＝0,得：3e^x＋xe^x＝0,∴x＝－3,∴g（－3）＝2/e^3－3/e^3＝－1/e^3.
∴g（x）＝2e^x＋xe^x的最小值是－1/e^3.
∴要使①恒成立,就需要：－2a＜－1/e^3,∴2a＞1/e^3,∴a＞1/（2e^3）.
∴满足条件的a的取值范围是（1/（2e^3）,＋∞）.