题目

设a∈R函数f(x)=ax²+x-a(a∈R,│x│≤1) 若│a│≤1试证│f(x)│≤5/4

提问时间：2021-12-17

答案

若a=0
则f(x)=x
当|x|≤1时,显然|f(x)|=|x|≤1
满足|f(x)|≤5/4
若a≠0
对f(x)
判别式△=1+4a²≥1
则方程ax²+x-a=0必有两个实根,但不一定是在[-1,1]范围内.
此时f(x)图形为抛物线,|f(x)|表示将抛物线小于0的部分取为相反数.
f(x)=a(x+1/(2a))²-a-1/(4a)
结合抛物线特点可知
|f(x)|在[-1,1]范围内最大值,只可能是|f(1)|,|f(-1)|,|f(-1/(2a))|中的一个.若-1/2a不在[-1,1]范围内则不需要考虑 |f(-1/(2a))|
|f(1)|=|a+1-a|=1≤5/4
|f(-1)=|a-1-a|=1≤5/4
|f(-1/2a)|=|-a-1/(4a)|
显然a与1/4a符号一致,那么|a|+|1/4a|=|a+1/4a|=|-a-1/4a|
则|f(-1/2a)|=|a|+|1/4a|≥2√(|a|*|1/4a|)=1
当且仅当|a|=|1/4a|,即|a|=1/2时取等号
因为
|a|≤1
则1/2|a|≥1/2
|a|=1时,|f(-1/2a)|取得最大值,此时|f(-1/2a)|=1+1/4=5/4
则|a|≤1时,|f(-1/2a)|≤5/4
综上|f(x)|≤5/4