题目

两个连续自然数n和n+1,乘积被67整除余43,求n除以67的余数?
我搞不懂“两个连续自然数n和n+1乘积被a除余b,如何分析n与a的关系”我只有两分,没能给分,抱歉

提问时间：2021-12-17

答案

要使 两个连续自然数n和n+1,乘积被67整除余43
那么,令N被67除的余数为M,M＜67
则N+1被67除的余数(必然)是M+1,M+1＜67,M＜66
则有 ：M(M+1) 被67 除的余数是43
因此即求M＜66的整数使得：
M(M+1) = 67K+43
显然K ＜ (65*66-43)/67 ≈ 63.39,推得0≤K≤ 63,且K是奇数.
令K = 2T+ 1,0≤T≤32 ,有：
M(M+1) = 134T + 110
M² + M - 110 = 134T
(M+11) (M-10) = 134T
显然有解T=0,M=10.
除此之外,再令M-10=P,
P(P+21) = 134T = 2*67*T
P= M - 10 ＜ 66-10 = 56,P ＜ 56,P+21＜77.结合P的范围,显然只有如下方程成立：
P = 2T
P + 21 = 67
解得P = 46,T = 23,此时M = 46+10 = 56
综上,有且仅有两
M = 10、M +1 = 11
或
M = 56、M+1 = 57
因此,只需当N是 被67除余10,或余56的数,则N*(N+1)被67除即余43
或说：
N*(N+1)被67除余43,则N是被67除余10、余56的数
例如N = 10、56、77、123、144、190……都行.
至于你说的“n和n+1乘积被a除余b,如何分析n与a的关系”,从上述步骤看来,假如
A、B互质,A+B = T(T+1)的话,显然,N = T是1个基础解,另一个基础解是A-T-1